Question

某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量p（L）關(guān)于行駛速度v（km/h）的函數(shù)解析式可以表示為：p=

1

128000

v3-

3

80

v+8（{0＜v≤120}）．已知甲、乙兩地相距100km，設(shè)汽車的行駛速度為x（km/h），從甲地到乙地所需時(shí)間為t（h），耗油量為y（L）．
（1）求函數(shù)t=g（x）及y=f（x）；
（2）求當(dāng)x為多少時(shí)，y取得最小值，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）汽車行駛的時(shí)間函數(shù)t=g（x）=

路程

速度

；耗油量函數(shù)y=f（x）=每小時(shí)耗油量p×函數(shù)t，代入數(shù)據(jù)整理即可．
（2）對(duì)y求導(dǎo)，得y^′，令y'=0，得x的值，由導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)與函數(shù)增減性的關(guān)系求得y的最小值．

解答：解：（1）從甲地到乙地汽車的行駛時(shí)間為：t=g(x)=

100

x

(0＜x≤120)，
則耗油量y=f(x)=pt=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

(0＜x≤120)．
（2）對(duì)y求導(dǎo)，得y′=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

，由y'=0，得x=80，列出下表：

x	（0，80）	80	（80，120）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值11.25	↗

所以，當(dāng)x=80時(shí)，y取得極小值也是最小值11.25．
答：當(dāng)汽車的行駛速度為80km/h時(shí)，耗油量最少，為11.25L．

點(diǎn)評(píng)：本題利用求導(dǎo)數(shù)的方法考查了函數(shù)的增減性和最值問題：當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，f（x）在這一區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，f（x）在這一區(qū)間上是增函數(shù)．