Question

已知n（n∈N^*）滿足3

C

n-5 n-1

=5

P

2 n-2

，整數(shù)a是413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4除以6的余數(shù)．
（1）求n和a的值；
（2）求(x2+

a

x

)n二項展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（3）利用二項式定理，求函數(shù)F(x)=(x2+

a

x

)5+(

1

x2

+ax)5在區(qū)間[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項式定理

分析：（1）運用組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，求出n=9，再由二項式定理求得a=4；
（2）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，中間項的二項式系數(shù)最大，即第5、6項均為所求；
（3）運用二項式定理展開，合并，再由函數(shù)y=xⁿ+

1

xn

（n為正整數(shù)）在（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，即可得到最小值．

解答： 解：（1）3

C

n-5 n-1

=5

P

2 n-2

，即為3

C

4 n-1

=5（n-2）（n-3），
3•

(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

24

=5（n-2）（n-3），即n²-5n-36=0，
解得，n=9（-4舍去），
413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4=（4+1）¹³-1=5¹³-1
=（6-1）¹³-1=6¹³-

C

1 13

6¹²+…+

C

12 13

•6-1-1，
上式顯然前13項均為6的倍數(shù)，則余數(shù)為a=-2+6=4．
故有n=9，a=4；
（2）(x2+

a

x

)n二項展開式即為（x²+

4

x

）⁹的通項公式為：
T_r+1=

C

r 9

(x2)9-r(

4

x

)r（r=0，1，2，…，9）
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，二項式系數(shù)最大的項為：
T₅=

C

4 9

(x2)5(

4

x

)4=32256x⁶，T₆=

C

5 9

(x2)4(

4

x

)5=129024x³；
（3）函數(shù)F（x）=（x²+

4

x

）⁵+（

1

x2

+4x）⁵=（x¹⁰+

1

x10

）+

C

1 5

•4（x⁷+

1

x7

）+

C

2 5

•42•（x⁴+

1

x4

）+

C

3 5

•43•（x+

1

x

）+

C

4 5

•44•（

1

x2

+x²）+45•（

1

x5

+x⁵），
由于y=xⁿ+

1

xn

（n為正整數(shù)）在（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
則當(dāng)x=1時，y取得最小值．
則F（x）在[

1

2

，1）上遞減，在（1，2]上遞增，
則F（1）最小，且為（1+4）⁵+（1+4）⁵=6250．

點評：本題考查二項式定理的運用：求某項的系數(shù)以及整除問題，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．