Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0），且與定圓B：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=16相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知P，Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線OP，OQ的斜率乘積等于λ（λ常數(shù)）．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{ON}$=m$\overrightarrow{OP}$+n$\overrightarrow{OQ}$（m，n∈R）．
①若m=1，n=2，λ=-$\frac{1}{4}$，求證：x₀²+4y₀²為定值；
②是否存在定值λ，使得點(diǎn)N也在曲線C上，若存在，求出λ的值以及m，n滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用兩圓相內(nèi)切的、橢圓的定義即可得出．
（2）①設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OQ}$，可得x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂．利用斜率計(jì)算公式可得x₁x₂+4y₁y₂=0．又P，Q在曲線C上，代入即可證明${x_0}^2+4{y_0}^2$為定值．
②假設(shè)存在定值λ，使得點(diǎn)N也在曲線C上．由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OP}+n\overrightarrow{OQ}$，可得x₀=mx₁+nx₂，y₀=my₁+ny₂．由k_OP•k_OQ=λ，利用斜率計(jì)算公式可得λx₁x₂-y₁y₂=0．又P，Q在曲線C上，代入可得${x_0}^2+4{y_0}^2=4$為定值，得出m²+n²=1，x₁x₂+4y₁y₂=0，即可得出λ的值及其實(shí)數(shù)m，n滿足的條件為m²+n²=1．

解答 解：（1）設(shè)圓M的半徑為R，
∵點(diǎn)$A（-\sqrt{3}，0）$在圓$B：{（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$內(nèi)，
∴AM=R，BM=4-R，
∴$AM+BM=4＞2\sqrt{3}=AB$，
∴圓心M的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
∴2a=4，$2c=2\sqrt{3}$，
∴a=2，$c=\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$． 
（2）證明：①設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OQ}$，
∴x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂．
∵P，Q在曲線C上，
∴${x_1}^2+4{y_1}^2=4，{x_2}^2+4{y_2}^2=4$．
又∵${k_{OP}}•{k_{OQ}}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{4}$，
∴x₁x₂+4y₁y₂=0．
于是${x_0}^2+4{y_0}^2=（{x_1}^2+4{x_1}{x_2}+4{x_2}^2）+4（{y_1}^2+4{y_1}{y_2}+4{y_2}^2）$=$（{x_1}^2+4{y_1}^2）+4（{x_1}{x_2}+4{y_1}{y_2}）+4（{x_2}^2+4{y_2}^2）=20$．
故${x_0}^2+4{y_0}^2$為定值．
解：②假設(shè)存在定值λ，使得點(diǎn)N也在曲線C上．
∵$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OP}+n\overrightarrow{OQ}$，
∴x₀=mx₁+nx₂，y₀=my₁+ny₂．
∵P，Q在曲線C上，
∴${x_1}^2+4{y_1}^2=4，{x_2}^2+4{y_2}^2=4$．
又k_OP•k_OQ=λ，
∴λx₁x₂-y₁y₂=0．
于是${x_0}^2+4{y_0}^2=（{m^2}{x_1}^2+2mn{x_1}{x_2}+{n^2}{x_2}^2）+4（{m^2}{y_1}^2+2mn{y_1}{y_2}+{n^2}{y_2}^2）$
=${m^2}（{x_1}^2+4{y_1}^2）+2mn（{x_1}{x_2}+4{y_1}{y_2}）+{n^2}（{x_2}^2+4{y_2}^2）$=4（m²+n²）+2mn（x₁x₂+4y₁y₂）．   
∵點(diǎn)N也在曲線C上，
故${x_0}^2+4{y_0}^2=4$為定值，
∴m²+n²=1，x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴存在定值$λ=-\frac{1}{4}$，實(shí)數(shù)m，n滿足的條件為m²+n²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、斜率計(jì)算公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．