Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽且同時(shí)滿足：①f（x）圖象左移1個(gè)單位后所得函數(shù)為偶函數(shù)；②對(duì)于任意大于1的不等實(shí)數(shù)a，b，總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（1）f（x）的圖象是否有對(duì)稱軸？如果有，寫出對(duì)稱軸方程．并說(shuō)明在區(qū)間（-∞，1）上f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g(x)=

1

f(x)

+

1

2-x

，如果f（0）=1，判斷g（x）=0是否有負(fù)實(shí)根并說(shuō)明理由；
（3）如果x₁＞0，x₂＜0且x₁+x₂+2＜0，比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）由條件（1）得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，有條件（2）可得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可判斷f（x）在（-∞，1）上單調(diào)性；
（2）若g（x）=0有負(fù)根x₀，由 g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0可求得f（x₀）=x₀-2，再借助f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，可得出矛盾；
（3）點(diǎn)（-x₁，f（-x₁））與點(diǎn)（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩點(diǎn)，結(jié)合x₁+x₂+2＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可比較f（-x₁）與f（-x₂）的大�。�

解答：（1）解：由條件（1）得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱…（2分）
有條件（2）得a＞b＞1時(shí)，f（a）＞f（b）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
又∵f（x）的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減…（5分）
（2）若g（x）=0有負(fù)根x₀，則  g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0，
∴f（x₀）=x₀-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x₀）＞1，
∴x₀-2＞1，即x₀＞3與x₀＜0矛盾，故g（x）=0無(wú)負(fù)實(shí)根…（10分）
（3）解：點(diǎn)（-x₁，f（-x₁））與點(diǎn)（2+x₁，f（2+x₁））為f（x）上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩點(diǎn)，
∵x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₁+2＜-x₂，又f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（-x₂）＞f（2+x₁）=f（-x₁）…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，難點(diǎn)在于（3）的分析與轉(zhuǎn)化，比較抽象，屬于難題．