Question

如圖，雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線為l₁，l₂，離心率為

13

3

，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且

OP1

•

OP2

=t，

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），P在雙曲線C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面積為6，求t的值；
（2）t=5時，求a最大時雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意，由e=

c

a

=

13

3

可求得b=

2

3

a，設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線l₁：y=

b

a

x的傾斜角為θ，可求得tanθ=

2

3

，tan∠P₁OP₂=tan2θ=

12

5

，繼而可求得cos2θ=

5

13

，sin2θ=

12

13

，由

OP1

•

OP2

=t，S△P1OP2=6即可求得t．
（2）t=5時，可求得|

OP1

|•|

OP2

|=13，利用余弦定理可求得|P₁P₂|，再利用基本不等式可求得|P₁P₂|≥16，最后利用S△P1OP2即可求得a最大時的值，從而可求得此時雙曲線C的方程．

解答：解：（1）依題意，e=

c

a

=

13

3

，
∴e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

13

9

，a＞0，b＞0，
∴b=

2

3

a，設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線l₁：y=

b

a

x的傾斜角為θ，
則tanθ=

2

3

，tan∠P₁OP₂=tan2θ=

12

5

，
∴cos2θ=

5

13

，sin2θ=

12

13

；
∵

OP1

•

OP2

=|

OP1

|•|

OP2

|•cos∠P₁OP₂=|

OP1

|•|

OP2

|×

5

13

=t，
S△P1OP2=

1

2

|

OP1

|•|

OP2

|•sin∠P₁OP₂=

1

2

|

OP1

|•|

OP2

|×

12

13

=6
∴|

OP1

|•|

OP2

|=13．
∴t=|

OP1

|•|

OP2

|×

5

13

=13×

5

13

=5．
（2）∵t=|

OP1

|•|

OP2

|×

5

13

=5，
∴|

OP1

|•|

OP2

|=13．
∴由余弦定理得：|P1P2|2=|OP1|2+|OP2|2-2|

OP1

|•|

OP2

|cos∠P₁OP₂
≥2|

OP1

|•|

OP2

|（1-cos∠P₁OP₂）
=2×13×

8

13

=16（當(dāng)且僅當(dāng)|

OP1

|=|

OP2

|時取“=”）．
∴|P₁P₂|≥4（當(dāng)且僅當(dāng)|

OP1

|=|

OP2

|時取“=”）．
∵

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），
∴P₂、P、P₁三點共線，又P在雙曲線C右支上，
∵S△P1OP2=

1

2

|

OP1

|•|

OP2

|•sin∠P₁OP₂=

1

2

|

OP1

|•|

OP2

|×

12

13

=6，
又S△P1OP2=

1

2

|P₁P₂|•h（h為原點O到直線P₁P₂的距離），
∴當(dāng)|

OP1

|=|

OP2

|=

13

時，|P₁P₂|取得最小值4，h取到最大值，此時h=a，即雙曲線C的方程中的a取到最大值．
∴

1

2

×4a=6，
∴a=3，b=2．
∴雙曲線的方程為：

x2

9

-

y2

4

=1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查二倍角公式、向量的數(shù)量積、三角形面積公式、基本不等式的綜合應(yīng)用，考查化歸思想與等價轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．