Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB₁的中點(diǎn)，O為平面BCC₁B₁的中心．
（1）過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明）；
（2）求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接ON，令A(yù)D與ON確定的平面為α，O、C、M三點(diǎn)確定的平面為β，由三個(gè)平面α，β和ABCD兩兩相交，故OQ是α與β的交線，連接OQ與AN交于P，與CM交于Q，則直線OPQ即為所求作的直線．
（2）由已知易得△APQ∽△OPN，且相似比為2，由此我們可以求出AP的值，再根據(jù)AQ=1，即可求出PQ的值．

解答：解：（1）連接ON，由ON∥AD知，AD與ON確定一個(gè)平面α．又O、C、M三點(diǎn)確定一個(gè)平面β（如圖所示）．
∵三個(gè)平面α，β和ABCD兩兩相交，
有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面．
∴DA與CM必相交，記交點(diǎn)為Q，∴OQ是α與β的交線．
連接OQ與AN交于P，與CM交于Q，
故直線OPQ即為所求作的直線．
（2）在Rt△APQ中，易知AQ=1，又易知△APQ∽△OPN，
∴

AP

PN

=

AQ

NO

=2，AN=

5

2

，∴AP=

5

3

，
∴PQ=

AQ2+AP2

=

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征及相似三角形的性質(zhì)，其中利用公理3確定Q的位置是解答問題的關(guān)鍵．