Question

已知函數(shù)

（I）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（II）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II） (Ⅲ) 實(shí)數(shù)的最大值為0

【解析】

試題分析：（I）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213240418382941/SYS201309021324564286543723_DA.files/image005.png">為的極值點(diǎn)，所以，即，

解得。經(jīng)檢驗(yàn)，合題意 

（II）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立。

?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故 符合題意。         6分                                   

?當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函數(shù)，其對(duì)稱軸為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213240418382941/SYS201309021324564286543723_DA.files/image015.png">，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213240418382941/SYS201309021324564286543723_DA.files/image015.png">，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。 

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程可化為。

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域。

因?yàn)楹瘮?shù)，令函數(shù)， 

則，

所以當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此。

而，所以，因此當(dāng)時(shí)，b取得最大值0.   

考點(diǎn)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，求極值時(shí)要注意驗(yàn)根，因?yàn)闃O值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，但是導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，涉及到含參數(shù)問題，一般離不開分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)要盡量做到不重不漏.