Question

 

已知函數(shù)在x = 0處取得極值0．

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)若關(guān)于x的方程，  在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n＞1，不等式 都成立．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(Ⅰ)  =    ∵x=0時(shí)，f(x)取得極值0，∴

解得a=1.b=0,經(jīng)檢驗(yàn)a=1,b=0符合題意.

 (Ⅱ)由a=1知f(x)= x² +x -ln(x+1)，由f(x)= +m,                

得x²- ln(x+1) -x-m=0，令φ(x)= x²- ln(x+1) -x-m，

則f(x)= +m在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ(x)=0在[0，2]

恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根． ，

當(dāng)x∈(O，1)時(shí)， <O，于是φ(x)在(O，1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1，2)時(shí)， >0，于是φ(x)在(1，2)上單調(diào)遞增．

       依題意有        ∴.

(Ⅲ) f(x)= x² +x- ln(x+1)的定義域?yàn)閧x|x> -1}，    由(Ⅰ)知，

  ∴當(dāng)-1<x<0時(shí)，<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，<0，f(x)單調(diào)遞增.

∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最小值.

∴f(x)  f(0)，又故x²+x  ln(x+1) (當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立).

對(duì)任意正整數(shù)n，取x=>0得， +> ln(+1)=ln(n+1)-lnn，

而，

即                

故