Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AE=3EB；
（Ⅰ）若A₁F=

1

3

FA，求證：EF∥面DD₁C₁C；
（Ⅱ） 求二面角A-EC-D₁的正切值、

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證FE∥面DD₁C₁C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證FE與面DD₁C₁C內(nèi)一直線平行，連A₁B，根據(jù)比例關(guān)系可知FE∥A₁B，又D₁C∥A₁B，則EF∥D₁C，EF?面DD₁C₁C，D₁C?面DD₁C₁C，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）過點D作DG⊥EC，連接D₁G，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠D₁GD就是二面角A-EC-D₁的平面角，然后在△D₁DG中求出此角的正切值即可求得所求．

解答：解：（Ⅰ）連A₁B，∵AE=3EB.A1F=

1

3

FA
∴

AE

EB

=

AF

FA1

=3，∴FE∥A₁B，又D₁C∥A₁B
∴EF∥D₁C，EF?面DD₁C₁C，D₁C?面DD₁C₁C
∴FE∥面DD₁C₁C
（Ⅱ）過點D作DG⊥EC，連接D₁G．
由DD₁⊥平面ABCD得D₁G⊥CE，又DG⊥EC，DG∩DD₁=D，
∴CE⊥平面D₁DG．∴CE⊥D₁G，
∴∠D₁GD就是二面角A-EC-D₁的平面角．
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，則AE=3，EB=1．
CE=

42+1

=

17

，△DEC中，由等面積法，DG=

4×4

17

=

16

17

．
∴△D₁DG中，tanD1GD=

DD1

DG

=

4

16 17

=

17

4

．
∴二面角A-EC-D₁的正切值為

17

4

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及二面角的度量，求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．