Question

(Ⅰ)已知多項(xiàng)式f_n(x)=(1+x)(1-x)(1+x)…[1+(-1)^n-1x](n∈N^*)展開式的一次項(xiàng)系數(shù)為a_n，二次項(xiàng)系數(shù)為b_n.

(i)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；

(ii)求證：數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=-；

(Ⅱ)已知多項(xiàng)式g_n(x)=(1+x)(1-2x)(1+2²x)…[1+(-2)^n-1x](n∈N^*)展開式的一次項(xiàng)系數(shù)為c_n，二次項(xiàng)系數(shù)為d_n，試求數(shù)列{c_n}和數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

解：（Ⅰ）(i)a_n=1-1+1-…+(-1)^n-1

=. 

(ii)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，由f₁(x)=1+x,知b₁=0,

而-,等式成立. 

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即

b_k=-+,

那么由f_k+1(x)=f_k(x)[1+(-1)^(k+1)-1_x]

b_k+1=b_k+(-1)^ka_k

=-++(-1)^k·

=-++

=-+

=-+.

等式仍然成立. 

根據(jù)（1）和（2）知，對(duì)任意n∈N^*,

都有b_n=-. 

（Ⅱ）c_n=1-2+2²+…+(-2)^n-1

==[1-(-2)ⁿ]. 

由g₁(x)=1-x,知d₁=0.

當(dāng)n≥2時(shí),由g_n(x)=g_n-1(x)[1+(-2)^n-1x],

知d_n=d_n-1+(-2)^n-1c_n-1,

∴d_n-d_n-1=(-2)^n-1c_n-1

=(-2)^n-1·[1-(-2)^n-1]

=[(-2)^n-1-4^n-1].

∴d_n=d₁+(d₂-d₁)+(d₃-d₂)+…(d_n-d_n-1)

=0+{(-2)¹+4¹}+[(-2)²-4²]+…+[(-2)^n-1-4^n-1]

=[(-2)¹+(-2)²+…+(-2)^n-1]-[4¹+4²+…+4^n-1]

=·

=[-2-(-2)ⁿ]+（4-4ⁿ）

=[2-(-2)ⁿ-4ⁿ].

當(dāng)n=1時(shí)上式也成立.

∴d_n=[2-(-2)ⁿ-4ⁿ].(n∈N^*).