Question

7．如圖，已知PD⊥平面α，A∈α，B∈α，∠APB=90°，PA、PB與α所成角分別是30°，45°，PD=1，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 PD⊥平面α，可得PD⊥AD，PD⊥DB，∠PAD=30°，∠PBD=45°．分別在Rt△ADP中，在Rt△BDP中，利用直角三角形邊角關(guān)系可得PA，PB．在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$，即可得出．

解答 解：∵PD⊥平面α，∴PD⊥AD，PD⊥DB．
∴∠PAD=30°，∠PBD=45°．
在Rt△ADP中，AP=$\frac{PD}{sin3{0}^{°}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2．
在Rt△BDP中，BP=$\frac{PD}{sin4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角、直角三角形的邊角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．