Question

有一同學在研究方程x³+x²-1=0的實數解的個數時發(fā)現，將方程等價轉換為x2=

1

x+1

后，方程的解可視為函數y=x²的圖象與函數y=

1

x+1

的圖象交點的橫坐標．結合該同學的解題啟示，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

的解的個數為

2

個．

Answer 1

分析：先將方程等價轉化，注意函數的定義域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，構造新函數 g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，考查其零點區(qū)間，進而利用導數法求解．

解答：解：由題意，x≠0時，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

，可化為|sin

π

2

x|=

x

-1
定義域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，
設 g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，故 x＞2時，g（x）＞0；
x=2 時，g（2）=1；g（1）=-1，故實數解僅在（1，2）內獲得；
在（1，2）內，g（x）=

x

-1-sin

π

2

x，g'（x）=

1

2 x

-

π

2

cos

π

2

x＞0，（兩部分全是正的）得到g（x）只有一個零點，即方程|sin

π

2

x|=

x

-1的實數解僅有一個
當x=0時，方程成立
故答案為2

點評：本題的考點是類比推理，主要考查方程解的個數，由于是超越方程，利用了函數的單調性求解，關鍵是問題的等價轉化．