Question

某城市為了改善交通狀況，需進行路網(wǎng)改造．已知原有道路a個標段（注：1個標段是指一定長度的機動車道），擬增建x個標段的新路和n個道路交叉口，n與x滿足關系n=ax+b，其中b為常數(shù)．設新建1個標段道路的平均造價為k萬元，新建1個道路交叉口的平均造價是新建1個標段道路的平均造價的β倍（β≥1），n越大，路網(wǎng)越通暢，記路網(wǎng)的堵塞率為μ，它與β的關系為．
（Ⅰ）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數(shù)關系式：
（Ⅱ）若要求路網(wǎng)的堵塞率介于5%與10%之間，而且新增道路標段為原有道路標段數(shù)的25%，求新建的x個標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比P的取值范圍；
（Ⅲ）當b=4時，在（Ⅱ）的假設下，要使路網(wǎng)最通暢，且造價比P最高時，問原有道路標段為多少個？

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得，新建道路交叉口的總造價（單位：萬元）為：
y=kβn=kβ（ax+b）；
（Ⅱ）．
由于 5%≤μ≤10%
有
則
∴5≤1+β≤10．
∴4≤β≤9．
∴．
又由已知P＞0，β＞0，從而．
所以P的取值范圍是．
（Ⅲ）當b=4時，在（Ⅱ）的條件下，若路網(wǎng)最通暢，則β=9．
又造價比最高．
∴．
當且僅當 即a=4時取等號．
∴滿足（Ⅲ）的條件的原有道路標段是4個．
分析：（Ⅰ）直接由題意得到新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）由題意可知P=，再由路網(wǎng)的堵塞率介于5%與10%之間列式得到β的范圍，從而得到P的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使路網(wǎng)最通暢，且造價比P最高時β=9，代入造價比P=后利用基本不等式求最值．
點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應用，考查了學生的讀題能力，解答的關鍵在于讀懂題意，正確列出表達式，訓練了利用基本不等式求最值，是中高檔題．