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已知彈道曲線的參數方程為
x=v0tcosα
y=v0tsinα-
1
2
gt2
，g是重力加速度．
（1）求發(fā)射角α=
π
3
時，彈道曲線的普通方程和射程；
（2）設v0是定值，α是變量，求證：α=
π
4
時射程最大．
考點：參數方程化成普通方程,函數的最值及其幾何意義
專題：坐標系和參數方程
分析：（1）發(fā)射角α=
π
3
時，可得x=v0tcos
π
3
=
1
2
v0t，y=v0tsin
π
3
-
1
2
gt2=
3
2
v0t-
1
2
gt2，消去t可得y=
3
x-
2gx2
v
2
0
．令y=0，可得x．
（2）由彈道曲線的參數方程
x=v0tcosα
y=v0tsinα-
1
2
gt2
，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-
gx2
2
v
2
0
cos2α
，令y=0，可得x=
v
2
0
g
sin2α，即可證明．
解答： （1）解：發(fā)射角α=
π
3
時，x=v0tcos
π
3
=
1
2
v0t，y=v0tsin
π
3
-
1
2
gt2=
3
2
v0t-
1
2
gt2，
消去t可得y=
3
x-
2gx2
v
2
0
．
令y=0，可得x=
3
v
2
0
2g
．
（2）證明：由彈道曲線的參數方程
x=v0tcosα
y=v0tsinα-
1
2
gt2
，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-
gx2
2
v
2
0
cos2α
，
令y=0，可得x=
v
2
0
g
sin2α≤
v
2
0
g
，當且僅當α=
π
4
時射程最大．
點評：本題考查了彈道曲線的參數方程化為普通方程、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（普通文科做）已知f（x）=
1
3
x3-x2+ax在區(qū)間[-2，5]上單調遞減，則a的范圍為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

將下一列參數方程化為普通方程：
x=
1-t2
1+t2
y=
t
1+t2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，某幾何體的三視圖均為腰長為1的等腰直角三角形，則此幾何體最長的棱長為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數g（x）=
1
3
x3+ax2的圖象在x=1處的切線平行于直線2x-y=0．記g（x）的導函數為f（x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）記正項數列{an}的前n項和為Sn，且?n∈N+，Sn=
1
2
f（an），求an；
（3）對于數列{bn}滿足：b1=
1
2
，bn+1=f（bn），當n≥2，n∈N+時，求證：1＜
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

到空間不共面的四點距離相等的平面的個數為（　�。�
A、1個B、4個C、7個D、8個

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩曲線f（x）=x3+ax，g（x）=ax2+bx+c都經過P（1，2），在點P有公切線．
（1）求a，b，c的值；
（2）設k（x）=
f(x)
g(x)
，求k′（-2）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

曲線C在直角坐標系中的參數方程
x=2cosα
y=2-sinα
（α為參數）．若以原點為極點，x軸正半軸為極軸，長度單位不變，建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（-1，2），
b
=（2，λ），且
a
與
b
的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，1）
B、（0，1）
C、（1，∞）
D、（-∞，-4）∪（-4，1）

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