Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x），g（x）在x=x₀處的切線l相同．
（1）求m的值及切線l的方程；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=ax+b，若存在實(shí)數(shù)a，b使得關(guān)于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1對(duì)（0，+∞）上的任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a的最小值及對(duì)應(yīng)的h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在x=x₀處的切線l相同，列出方程，求出m，即可得到切線方程．
（2）化簡(jiǎn)g（x）=2elnx，通過(guò)g（x）≤h（x）≤f（x）+1，推出a＞0，利用①由h（x）≤f（x）+1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，利用二次函數(shù)推出$b≤-\frac{a^2}{4}+1$，②由g（x）≤h（x），設(shè)G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)，求出單調(diào)性，最值推出$2eln\frac{2}{a}≤b≤-\frac{a^2}{4}+1$，轉(zhuǎn)化為：不等式可化為$-\frac{a^2}{4}+1-2eln\frac{2}{a}≥0$有解，令$\frac{a}{2}=t$，設(shè)φ（t）=-t²+2elnt+1，求出導(dǎo)函數(shù)，推出函數(shù)的最值求解b的范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=2x，g'（x）=\frac{m}{x}$，
由已知f'（x₀）=g'（x₀）且f（x₀）=g（x₀），
∴$2{x_0}=\frac{m}{x_0}$且$x_0^2=mln{x_0}$，得$x_0^2=2x_0^2ln{x_0}$，…（2分）
又x₀≠0，∴$ln{x_0}=\frac{1}{2}，{x_0}=\sqrt{e}$，
∴$m=2x_0^2=2e$，
∴切線l的方程為$y-e=2\sqrt{e}（{x-\sqrt{e}}）$，即$y=2\sqrt{e}x-e$…（4分）
（2）由（1）知，g（x）=2elnx，又因?yàn)間（x）≤h（x）≤f（x）+1，
可知a＞0，
①由h（x）≤f（x）+1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即x²-ax-b+1≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以△=（-a）²-4（-b+1）≤0，解得$b≤-\frac{a^2}{4}+1$①…（6分）
②由g（x）≤h（x）對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即設(shè)G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），
則$G'（x）=\frac{2e}{x}-a=\frac{{-a（{x-\frac{2e}{a}}）}}{x}$，令G'（x）=0，得$x=\frac{2e}{a}$，
當(dāng)$x∈（{0，\frac{2e}{a}}）$時(shí)，G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)$x∈（{\frac{2e}{a}，+∞}）$時(shí)，G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞減，
故$G{（x）_{max}}=G（{\frac{2e}{a}}）=2eln\frac{2e}{a}-2e-b=2eln\frac{2}{e}-b$，
則$2eln\frac{2}{a}-b≤0$，故得$2eln\frac{2}{a}≤b$，②
由①②得$2eln\frac{2}{a}≤b≤-\frac{a^2}{4}+1$，③
由存在實(shí)數(shù)a，b使得③成立的充要條件 是：不等式$2eln\frac{2}{a}≤-\frac{a^2}{4}+1$，有解，該不等式可化為$-\frac{a^2}{4}+1-2eln\frac{2}{a}≥0$有解…（10分）
令$\frac{a}{2}=t$，則有-t²+2elnt+1≥0，設(shè)φ（t）=-t²+2elnt+1，$φ'（t）=-2t+\frac{2e}{t}=\frac{{-2（{t+\sqrt{e}}）（{t-\sqrt{e}}）}}{t}$，
可知φ（t）在$（{0，\sqrt{e}}）$上遞增，在$（{\sqrt{e}，+∞}）$上遞減，
又$φ（1）=0，φ（{\sqrt{e}}）=1＞0，φ（e）=-{e^2}+2e{lne}+1=-{e^2}+2e+1＜0$，所以φ（t）=-t²+2elnt+1在區(qū)間$（{\sqrt{e}，e}）$內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)t₀，故不等式-t²+2elnt+1≥0的解為1≤t≤t₀即$1≤\frac{a}{2}≤{t_0}$，得2≤a≤2t₀，
因此a的最小值為2，代入③中得0≤b≤0，故b=0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的h（x）的解析式為h（x）=2x…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，構(gòu)造法以及換元法，分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度大．