Question

若關(guān)于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0無實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：先對(duì)方程進(jìn)行換元，將方程變?yōu)橐辉�二次方程無正解的問題，再對(duì)方程無解的問題進(jìn)行分類討論求參數(shù)的范圍即可

解答：解：設(shè)t=2^x＞0，原方程即為t²-kt+k+3=0（t＞0）
原方程無解?t²-kt+k+3=0無正解（1分）
（1）t²-kt+k+3=0無解?△=k²-4（k+3）=k²-4k-12＜0?-2＜k＜6（3分）
（2）t²-kt+k+3=0有兩負(fù)解或一負(fù)解一解為0（4分）
?

△=k2-4k-12≥0 x1+x2=k≤0 x1x2=k+3≥0

?-3≤k≤-2（8分）
綜上-3≤k＜6（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是用換元法將指數(shù)方程變?yōu)橐辉�二次方程，然后再依�?jù)一元二次方程的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)的不等式組求參數(shù)，本題對(duì)轉(zhuǎn)化化歸的能力要求較高．