Question

設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數列{a_n+1}為等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂（a_n+1），求數列{

1

bnbn+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能證明數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，從而能求出a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+1）=n，得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出數列{

1

bnbn+1

}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．