Question

當a=

2

π

∫

2 0

4-x2

dx時，二項式(x2-

a

x

)6展開式中的x³的系數為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：利用定積分求出a，然后利用二項式定理求解展開式中的x³的系數．

解答： 解：a=

2

π

∫

2 0

4-x2

dx，

∫

2 0

4-x2

dx的幾何意義是以原點為圓心半徑為2的

1

4

的圓的面積，
∴a=

2

π

×

1

4

π×22=2．
二項式(x2-

a

x

)6=(x2-

2

x

)6，展開式的通項公式為：

C

r 6

x12-2r•(-2)r•x-r=

C

r 6

x12-3r•(-2)r，
令12-3r=3，則r=3．
二項式(x2-

a

x

)6展開式中的x³的系數為：

C

3 6

(-2)3=-160．
故答案為：-160．

點評：本題考查二項式定理與微積分基本定理，著重考查二項展開式的通項公式，考查理解與運算的能力，屬于中檔題．