(2011•東城區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=
x
ex
-
2
e

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值;
(Ⅱ)證明:對任意m,n∈(0,+∞),都有f(m)≥g(n)成立.
分析:(Ⅰ)由f(x)=xlnx,得f'(x)=lnx+1.由此能求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值.
(Ⅱ)由f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))在x=
1
e
時取得最小值,知f(m)≥-
1
e
.由g(x)=
x
ex
-
2
e
,得g′(x)=
1-x
ex
.所以函數(shù)g(x)(x>0)在x=1時取得最大值,由此能夠證明對任意m,n∈(0,+∞),都有f(m)≥g(n)成立.
解答:(Ⅰ)解:由f(x)=xlnx,可得f'(x)=lnx+1.
當(dāng)x∈(0,
1
e
),f′(x)<0,f(x)
單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(
1
e
,+∞),f′(x)>0,f(x)
單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,又f(1)=0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為0.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))在x=
1
e
時取得最小值,
f(
1
e
)=-
1
e
,可知f(m)≥-
1
e

g(x)=
x
ex
-
2
e
,可得g′(x)=
1-x
ex

所以當(dāng)x∈(0,1),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
所以函數(shù)g(x)(x>0)在x=1時取得最大值,
g(1)=-
1
e
,可知g(n)≤-
1
e
,
所以對任意m,n∈(0,+∞),
都有f(m)≥g(n)成立.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值的求法和證明:對任意m,n∈(0,+∞),都有f(m)≥g(n)成立.解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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(2011•東城區(qū)一模)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作傾斜角為60°的直線,與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方),
|AF||BF|
=
3
3

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(2011•東城區(qū)一模)已知α∈(
π
2
,π)
,tan(α+
π
4
)=
1
7
,那么sinα+cosα的值為( �。�

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(2011•東城區(qū)一模)已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ≤
π
2
)
的部分圖象如圖所示,則點(diǎn)P(ω,φ)的坐標(biāo)為(  )

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64.5
64.5
kg;若要從體重在[60,70),[70,80),[80,90]三組內(nèi)的男生中,用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動,再從這12人選兩人當(dāng)正、負(fù)隊(duì)長,則這兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為
2
3
2
3

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(2011•東城區(qū)一模)對于n∈N*(n≥2),定義一個如下數(shù)陣:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann

其中對任意的1≤i≤n,1≤j≤n,當(dāng)i能整除j時,aij=1;當(dāng)i不能整除j時,aij=0.
(Ⅰ)當(dāng)n=4時,試寫出數(shù)陣A44
(Ⅱ)設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj
.若[x]表示不超過x的最大整數(shù),
求證:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]

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