Question

設(shè)對任意實數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．
C．a(chǎn)＞0或a＜-12
D．

Answer 1

【答案】分析：法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=．①當-≥1時，x=-1時有最大值a＞，與a≤-2相矛盾．②當時，x=-1或x=1時，有最大值．x=-1有最大值a＞，故；當x=1有最大值1-2a＜0，a，故．③當≤-1，即a≥2時，x=1時有最大值1-2a＜0，a，a≥2．由此能求出實數(shù)a的范圍．
法二：設(shè)f（x）=x²+ax-3a，由對任意實數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，知，由此能求出實數(shù)a的范圍．
解答：解法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=．
①當-≥1，即a≤-2時，x=-1離對稱軸最遠，而函數(shù)開口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞，與a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②當，即-2＜a＜2時，
x=-1或x=1時，有最大值．
由①知，x=-1有最大值時，其最大值是a＞，故；
當x=1有最大值時，其最大值是1-2a＜0，即a，故．
∴；
③當≤-1，即a≥2時，
x=1時有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a，
∴a≥2．
綜上所述，a＞．
故選B．
解法二：設(shè)f（x）=x²+ax-3a，
∵對任意實數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴，
即，
∴，故．
故選B．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類講座思想的合理運用．