Question

已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)．

（1）求的極值；

（2）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的最小值；

（3）設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1)極大值為1，無極小值；(2)3?；(3)．

【解析】

試題分析：(1)求的極值，就是先求出，解方程，此方程的解把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，我們?cè)俅_定在每個(gè)區(qū)間里的符號(hào)，從而得出極大值或極小值；（2）此總是首先是對(duì)不等式恒成立的轉(zhuǎn)化，由（1）可確定在上是增函數(shù)，同樣的方法（導(dǎo)數(shù)法）可確定函數(shù)在上也是增函數(shù)，不妨設(shè)，這樣題設(shè)絕對(duì)值不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719113088409574/SYS201411171911450252872963_DA/SYS201411171911450252872963_DA.015.png">

，整理為，由此函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在（3，4）上恒成立，要求的取值范圍．采取分離參數(shù)法得恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值；（3）由于的任意性，我們可先求出在上的值域，題設(shè)“在區(qū)間上總存在，使得

成立”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，極值點(diǎn)為（），其次，極小值，最后還要證明在上，存在，使，由此可求出的范圍.

試題解析：（1），令，得x=1． 1分

列表如下：

x	（?∞，1）	1	（1，∞）
		0	?
g(x)	↗	極大值	↘

 

 

 

 

 

∵g(1)=1，∴y=的極大值為1，無極小值． 3分

（2）當(dāng)時(shí)，，．

∵在恒成立，∴在上為增函數(shù)． 4分

設(shè)，∵>0在恒成立，

∴在上為增函數(shù)． 5分

設(shè)，則等價(jià)于，

即．

設(shè)，則u(x)在為減函數(shù)．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．

設(shè)，∵=，x?[3，4]，

∴，∴<0，為減函數(shù)．

∴在[3，4]上的最大值為v(3)=3?． 8分

∴a≥3?，∴的最小值為3?． 9分

（3）由（1）知在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719113088409574/SYS201411171911450252872963_DA/SYS201411171911450252872963_DA.075.png">． 10分

∵，，

當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，不合題意． 11分

當(dāng)時(shí)，，由題意知在不單調(diào)，

所以，即．① 12分

此時(shí)在上遞減，在上遞增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下證存在，使得≥1．

取，先證，即證．③

設(shè)，則在時(shí)恒成立．

∴在時(shí)為增函數(shù)．∴，∴③成立．

再證≥1．

∵，∴時(shí)，命題成立．

綜上所述，的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)區(qū)間，極值，求函數(shù)的值域，不等式恒成立等函數(shù)的綜合應(yīng)用.