在數(shù)列{an}中,已知a1=-1,an+1=2an-n+1,(n=1,2,3,…).
(1)證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(2)bn=
an2n
,Sn
為數(shù)列{bn}的前n項和,求Sn的表達式.
分析:(I)此證明題應從結(jié)論中找方法,要證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,將題設中的條件an+1=2an-n+1變形為an+1-(n+1)=2(an-n)即可;
(II)由(I)結(jié)論可求出bn,由通項公式的形式可以看出,本題宜先用分組求和的技巧,然后對其一部分用錯位減法求和.最后將結(jié)果綜合起來.
解答:解:∵an+1=2an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n)
an+1-(n+1)
an-n
=2,a1-1=-2
∴數(shù)列{an-n}是以-2為首項,2為公比的等比數(shù)列.(6分)
(2)由(1)得:an-n=(-2)×2n-1=-2n,∴an=n-2n,bn=
an
2n
=
n
2n
-1

∴Sn=b1+b2+…+bn=(
1
2
-1) +(
2
22
-1) +…+(
n
2n
-1)
=(
1
2
+
2
22
+…+
n
2n
) -n

令Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…
n
2n
,則
1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+…+
n-1
2n
+
n
2n+1


兩式相減得:
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1


∴Tn=2-
n+2
2n
,即Sn2-
n+2
2n
-n    (12分)
點評:本題是一道綜合性較強的題,要觀察分析,判斷,選擇合適的方法,如(I)的求解要從證明的結(jié)論中找變形方向;(II)中的求解要邊變形邊觀察,化整為零,分塊求解,這對答題者分析判斷的能力要求較高
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在數(shù)列{an}中,已知a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
,bn+2=3log 
1
4
an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設cn=
3
bnbn+1
,Sn是數(shù)列{cn}的前n項和,求使Sn
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

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an1+2an
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(2012•淮南二模)在數(shù)列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an+1-an=
2
an+1+an-1
,n∈N+
(1)記bn=(an-
1
2
2,n∈N+,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式;
(3)對?k∈N+,是否總?m∈N+使得an=k?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=
7
2
,an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)計算a2,a3;
(Ⅱ)求證:{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的通項公式an及其前n項和Sn

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