Question

7．已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，O為坐標原點，N（-2，0），并且滿足$\overrightarrow{F{{\;}_{1}F}_{2}}$=2$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=3
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（II）若過點N的直線l與橢圓交于不同的兩點E、F（E在N、F之間），$\overrightarrow{NE}$=λ$\overrightarrow{NF}$，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知向量等式列出關于b，c的方程組，求解得到b，c的值，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求得k的范圍，利用根與系數(shù)的關系可得A，B的橫坐標的和與積，結合$\overrightarrow{NE}$=λ$\overrightarrow{NF}$，可得λ=$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$，再由根與系數(shù)關系可得（x₁+2）+（x₂+2）=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$=（λ+1）（x₂+2），（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$=$λ（{x}_{2}+2）^{2}$，整理得到${k}^{2}=\frac{4λ}{（1+λ）^{2}}-\frac{1}{2}$．結合k的范圍求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）A（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由$\overrightarrow{F{{\;}_{1}F}_{2}}$=2$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=3，得$\left\{\begin{array}{l}{2c=2（2-c）}\\{2c+^{2}=3}\end{array}\right.$，解得b=c=1，
∴a²=b²+c²=2．
從而所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，
設l方程為y=k（x+2）（k≠0），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得（1+2k²）x²+8k²x+（8k²-2）=0，
由△＞0，得0＜k²＜$\frac{1}{2}$．
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，①
由于$\overrightarrow{NE}$=λ$\overrightarrow{NF}$，可得λ=$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$，且0＜λ＜1．
則（x₁+2）+（x₂+2）=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$=（λ+1）（x₂+2），②
（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$=$λ（{x}_{2}+2）^{2}$，③
③÷②²得$\frac{λ}{（λ+1）^{2}}=\frac{2{k}^{2}+1}{8}$，得${k}^{2}=\frac{4λ}{（1+λ）^{2}}-\frac{1}{2}$．
∵0$＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$，
∴0$＜\frac{4λ}{（1+λ）^{2}}-\frac{1}{2}$$＜\frac{1}{2}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-2λ+1＞0}\\{{λ}^{2}-6λ+1＜0}\end{array}\right.$，
解得：$3-2\sqrt{2}＜λ＜3+2\sqrt{2}$，且λ≠1．
又∵0＜λ＜1，
∴$3-2\sqrt{2}$＜λ＜1．
∴λ的取值范圍是（3-2$\sqrt{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．