Question

例2．求證：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

(a+b+c)．

Answer 1

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應(yīng)設(shè)法通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左式各根式的被開(kāi)方式轉(zhuǎn)化為完全平方式．

解答：證明：∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+2ab+b²=（a+b）²，
即a²+b²≥

(a+b)2

2

，兩邊開(kāi)方，得：

a2+b2

≥

2

2

|a+b|≥

2

2

（a+b），
同理可得

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（c+a），
三式相加，得：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）．

點(diǎn)評(píng)：利用綜合法由因?qū)Ч�證明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯(lián)系，不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換就是證明不等式的關(guān)鍵．