解:(Ⅰ)當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3906.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58660.png)
(x>0),
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58661.png)
(x>0),
由f'(x)>0解得0<x<2;由f'(x)<0解得x>2,
故當0<x<2時,f(x)的單調(diào)遞增;當x>2時,f(x)單調(diào)遞減,
∴當x=2時,函數(shù)f(x)取得極大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58662.png)
.(4分)
(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58663.png)
,∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,
∴導(dǎo)數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58664.png)
在區(qū)間[2,4]上恒成立,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58665.png)
在[2,4]上恒成立,只需2a不大于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46684.png)
在[2,4]上的最小值即可.(6分)
而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58666.png)
(2≤x≤4),則當2≤x≤4時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58667.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58668.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15938.png)
,故實數(shù)a的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58669.png)
.(8分)
(Ⅲ)因f(x)圖象上的點在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58659.png)
所表示的平面區(qū)域內(nèi),
即當x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x-1)
2+lnx-x+1≤0恒成立,
設(shè)g(x)=a(x-1)
2+lnx-x+1(x≥1),只需g(x)
max≤0即可.(9分)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58670.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58671.png)
,
(�。┊攁=0時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58672.png)
,當x>1時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故g(x)≤g(1)=0成立.(10分)
(ⅱ)當a>0時,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58673.png)
,令g'(x)=0,得x
1=1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58674.png)
,
①若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11770.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1909.png)
時,在區(qū)間(1,+∞)上,g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)在[1,+∞)上無最大值,不滿足條件;
②若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58675.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/813.png)
時,函數(shù)g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11779.png)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11778.png)
上單調(diào)遞增,同樣g(x)在[1,+∞)上無最大值,不滿足條件.(12分)
(ⅲ)當a<0時,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58676.png)
,因x∈(1,+∞),故g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故g(x)≤g(1)=0成立.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].(14分)
分析:(Ⅰ)把
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3906.png)
代入可得函數(shù)解析式,求導(dǎo)后由極值的定義可得;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減等價于其導(dǎo)數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58664.png)
在區(qū)間[2,4]上恒成立,只需求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46684.png)
在[2,4]上的最小值即可,下面可由基本不等式求解;
(Ⅲ)題意可化為當x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x-1)
2+lnx-x+1≤0恒成立,設(shè)g(x)=a(x-1)
2+lnx-x+1(x≥1),只需g(x)
max≤0即可,下面用導(dǎo)數(shù)求解g(x)的最大值.
點評:本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及極值,基本不等式,和分類討論的思想,屬中檔題.