Question

已知f（x）=

m

x+1

+nlnx（m，n為常數(shù)），在x=1處的切線為x+y-2=0．
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若任意實數(shù)x∈[

1

e

，1]，使得對任意的t∈[1，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，f（x）在[

1

e

，1]上的最小值為f（1）=1，只需t³-t²-2at≤1，即2a≥t²-t對任意的t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=t²-t，利用導(dǎo)數(shù)求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

m

x+1

+nlnx定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，
∴f′（1）=-

m

4

+n=-1，
把x=1代入x+y-2=0可得y=1，∴f（1）=

m

2

=1，
∴m=2，n=-

1

2

，
∴f（x）=

2

x+1

-

1

2

lnx，f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

，
∵x＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無遞增區(qū)間．
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[

1

e

，1]上的最小值為f（1）=1，
∴只需t³-t²-2at≤1，即2a≥t²-t對任意的t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=t²-t則g′（t）=2t-1，
∵t∈[1，2]，∴g′（t）≥0，∴2t³-t²-1=（t-1）（2t²+t+1），
∴g（t）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴g（t）_max=g（2）=2，
∴2a≥2，即a≥1，
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等知識，考查學(xué)生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力，屬于難題．