已知：a+b+c=1，a，b，c＞0．
（1）求證：abc≤
1
27
；
（2）求證：a2+b2+c2≥
3abc
．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：（1）直接利用均值不等式即可證明；
（2）利用（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，變形可得3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1，再利用（1）的結論即可得出．
解答： 證明：（1）∵a+b+c=1，a，b，c＞0．∴1≥3
3abc
，∴abc≤
1
27
．當且僅當a=b=c=
1
3
取等號．
（2）∵（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc．當且僅當a=b=c=
1
3
時取等號．
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1，∴a2+b2+c2≥
1
3
，
由（1）可得abc≤
1
27
，
∴
1
3
≥
3abc
．
∴a2+b2+c2≥
3abc
．當且僅當a=b=c=
1
3
時取等號．
點評：本題考查了均值不等式及3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|2x＞1}，N={x|x≥1}，則M∩（∁RN）=（　�。�
A、[1，+∞）
B、（0，1）
C、（-∞，0）
D、（0，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l過點A（6，1）與圓C：x2+y2-8x+6y+21=0相切，
（1）求該圓的圓心坐標及半徑長；
（2）求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a為實常數(shù)，函數(shù)f（x）=lnx-ax+1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1＜x2）．
   （�。┣髮崝�(shù)a的取值范圍；
   （ⅱ）求證：
1
e
＜x1＜1，且x1+x2＞2．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，以O為圓心的圓與直線x-
3
y=4相切．
（1）求圓O的方程；
（2）已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0，判斷它與圓O的位置關系，若相切求切線方程；若相交求相交弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲、乙兩個班級進行一次數(shù)學考試，按照成績分為優(yōu)秀和不優(yōu)秀兩種情況，統(tǒng)計成績后發(fā)現(xiàn)，甲班45名學生中有35人考試成績不優(yōu)秀，乙班45名學生中有7人考試成績優(yōu)秀，試分析：
（1）估計甲班學生數(shù)學考試成績的優(yōu)秀率；
（2）能否有99%的把握認為數(shù)學考試成績優(yōu)秀與班級有關？
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
 （其中n=a+b+c+d）
臨界值表
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2a4a6a8=120，且
1
a4a6a8
+
1
a2a6a8
+
1
a2a4a8
+
1
a2a4a6
=
7
60
，則S9的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}，其對應關系如下表所示，則f（f（4））=
 
．
x 1 2 3 4 5
f（x） 5 4 3 1 2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tanx=2，則
2sinx+cosx
cosx-sinx
=
 
．

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