Question

14．知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點．且長軸長為4．
（I）求橢圓E的方程：
（Ⅱ）若A是橢圓E的左頂點，經(jīng)過左焦點F的直線1與橢圓E交于C，D兩點，求△OAD與△OAC的面積之差的絕對值的最大值．（0為坐標原點）

Answer 1

分析 （I）由題意可知：2a=4，2a=c，根據(jù)橢圓的性質：b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意設直線方程，x=ky-1，將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理求得y₁+y₂，根據(jù)三角形的面積公式丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，分類，當k=0時，丨S₁-S₂丨=0，k≠0時，根據(jù)基本不等式的關系，即可求得丨S₁-S₂丨的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意得2a=4，即a=2，
2a=c，即c=1，
又b²=a²-c²，
∴b²=3
故橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設△OAD的面積為S₁，△OAC的面積為S₂，
設直線l的方程為x=ky-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，
∴∴丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=丨y₁+y₂丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，
當k=0時，丨S₁-S₂丨=0，
當k≠0時，丨S₁-S₂丨=$\frac{6}{3丨k丨+\frac{4}{丨k丨}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3丨k丨•\frac{4}{丨k丨}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（當且僅當3丨k丨=$\frac{4}{丨k丨}$，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時等號成立）．
∴丨S₁-S₂丨的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，三角形面積公式及基本不等式的綜合應用，考查轉化思想，屬于中檔題．