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1.已知函數(shù)f(x)=x2+ln(x-a)a∈R.
(Ⅰ)若f(x)有兩個不同的極值點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a≤-2時,用g(a)表示f(x)在[-1,0]上的最大值,求g(a)的表達(dá)式.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令h(x)=2x2-2ax+1,得到關(guān)于a的不等式組,解出即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求出f(x)的最大值,從而求出g(a)的表達(dá)式.

解答 解:(Ⅰ)fx=2x+1xa=2x22ax+1xaxa…(1分)
∵f(x)有兩個不同的極點(diǎn)
∴令h(x)=2x2-2ax+1,則h(x)有兩個大于a的零點(diǎn)
{△=4a280ha0aa2a2;…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)a≤-2時,f(x)在aaa222],[a+a222+上單調(diào)遞增;在[aa222a+a222]上單調(diào)遞減,x1=aa222=a2a2221a2221
x2=a+a222a22a2=a,故x2<0,-------------------------(8分)
注意到h(x)=2x2-2ax+1的對稱軸x=a21h(-1)=3+2a<0,h(0)=1>0,可推知-1<x2<0,
∴當(dāng)x∈[-1,0]時,g(a)=f(x)max=max{f(-1),f(0)}---------------------(10分)
而f(0)=ln(-a),f(-1)=1+ln(-1-a),
又若f0f1a=ee1,但ee12,故f(0)>f(-1)不成立
綜上分析可知,g(a)=f(-1)=1+ln(-1-a)(a≤-2)…(12分)

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì),是一道綜合題.

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