Question

已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C與所對的邊a，b，c滿足

2b-c

a

=

cosC

cosA

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC為長度的線段能圍成以psinA為斜邊的直角三角形，試求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式化簡題中等式，可得2sinBcosA=sin（A+C），再根據(jù)誘導(dǎo)公式與三角形內(nèi)角的正弦大于零，解出cosA=

1

2

，從而可得角A=

π

3

；
（II）根據(jù)題意利用勾股定理，得到p²sinA=sin²B+sin²C，利用三角恒等變換公式化簡整理，得到p²=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

．最后根據(jù)B∈（0，

2π

3

），利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，得到p²∈（1，2]，由此即可算出實數(shù)p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，

2b-c

a

=

cosC

cosA

∴根據(jù)正弦定理，得

2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即cosA（2sinB-sinC）=sinAcosC，
化簡得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），
∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π-B）=sinB＞0，
∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC為長度的線段能圍成以psinA為斜邊的直角三角形，
∴p²sinA=sin²B+sin²C，
∵A=

π

3

，得sinA=

3

2

，
∴

3

4

p²=sin²B+sin²C，
可得p²=

4

3

（sin²B+sin²C），
∵sin²B=

1

2

（1-cos2B），sin²C=

1

2

（1-cos2C），C=

2π

3

-B，
∴p²=

4

3

[

1

2

（1-cos2B）+

1

2

（1-cos2C）]
=

2

3

（1-cos2B）+

2

3

[1-cos（

4π

3

-2B）]=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

．
∵B∈（0，

2π

3

），
可得2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴sin（2B-

π

6

）∈(-

1

2

，1]，
得p²=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

∈（1，2]
因此，實數(shù)p的取值范圍是（1，

2

]．

點評：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求A的大小并依此探索直角三角形的存在問題，著重考查了正余弦定理的運用、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．