Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，上、下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，橢圓上的點(diǎn)到上焦點(diǎn)F₁的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)₁為焦點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點(diǎn)，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上、下頂點(diǎn)）且滿足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）橢圓上的點(diǎn)在上頂點(diǎn)時(shí)到上焦點(diǎn)F₁的距離的最小，進(jìn)而根據(jù)橢圓的離心率求得a和c，進(jìn)而根據(jù)b²=a²-c²，求得b，橢圓的方程可得．
（2）先求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線方程，進(jìn)而對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)，則可知該點(diǎn)出的切線的斜率，則切線方程可得．進(jìn)而求出Q和R的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

PQ

和

PR

進(jìn)而求得λ．
（3）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)（0，m）的直線l，滿足條件，則l的斜率必存在，進(jìn)而可設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立方程消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出

A1A

和

A1B

根據(jù)

A1A

•

A1B

=0求得m的值，最后進(jìn)行檢驗(yàn)看m是否符合．

解答：解：（1）依題意得：

c a = 1 2 a-c=1

，∴

a=2 c=1

，∴b²=a²-c²=3
∴所求的橢圓方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．

（2）由（1）知，F(xiàn)₁（0，1）則拋物線的方程為x²=4y
即y=

1

4

x2∴y′=

1

2

x
設(shè)P(t，

t2

4

)(t≠0)則該點(diǎn)處的切線的斜率k=y′|x=t=

t

2

∴切線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)
令y=0得Q(

t

2

，0)令x=0得R(0，-

t2

4

)
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)

PR

=(-t，-

t2

2

)
∴

PQ

=

1

2

PR

即λ=

1

2

．

（3）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)（0，m）的直線l，滿足條件，則l的斜率必存在，
∴可設(shè)l方程為y=kx+m聯(lián)立

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

消去y得（4+3k²）x²+6mkx+3（m²-4）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)＞0① x1+x2=- 6mk 4+3k2 ② x1x2= 3(m2-4) 4+3k2 ③

由①得4+3k²-m²＞0
由②③及直線l的方程得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=

4(m2-3k2)

4+3k2

y₁+y₂=（kx₁+m）+（kx₂+m）=k（x₁+x₂）+2m
=

8m

4+3k2

∵橢圓的上頂點(diǎn)為A₁（0，2），

A1A

•

A1B

=0
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0
∴

3(m2-4)

4+3k2

+

4(m2-3k2)

4+3k2

-2×

8m

4+3k2

+4=0
整理得7m²-16m+4=0解得m=

2

7

或m=2
當(dāng)m=2時(shí)，直線l的方程為y=kx+2過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A₁（0，2）與已知矛盾
當(dāng)m=

2

7

時(shí)，直線l的方程為y=kx+

2

7

符合題意
∴存在過(guò)點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足

A1A

•

A1B

=0，實(shí)數(shù)m的值為

2

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合掌握．