Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g(x)=x2-2mx+4
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

-x2+4x-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，3）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上遞減，在區(qū)間（1，2）上遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值為f（1）=-

1

2

，
由于“對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）”等價于“g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值不大于f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值-

1

2

”
即g（x）_min≤-

1

2

，（*）
又g（x）=x²-2mx+4，x∈[1，2]，
∴①當m＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2m＞0與（*）式矛盾，
②當m∈[1，2]時，g（x）_min=4-m²≥0，與（*）式矛盾，
③當m＞2時，g（x）_min=g（2）=8-4m≤-

1

2

，
解得m≥

17

8

，
綜上知，實數(shù)m的取值范圍是[

17

8

，+∞）．