Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當(dāng)時(shí)，求的值；

（II）是否存在實(shí)數(shù)m，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（III）求證：當(dāng)時(shí)，總能找到，使得.

 

Answer 1

【答案】

 

(1)  ，，.

(2) 

(3)  略

【解析】解：（Ｉ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052303182476566784/SYS201205230319557031490203_DA.files/image005.png">，，所以，

，.                   …………4分

（II）方法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.

由（I）得到，，

.因?yàn)?b>成等差數(shù)列，

所以，           …………6分

所以，，       化簡得，

解得（舍）,.  …………8分

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0，

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.  …………9分

方法二：因?yàn)?b>成等差數(shù)列，

所以，   …………6分

即，

所以，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052303182476566784/SYS201205230319557031490203_DA.files/image020.png">，所以解得.    …………8分

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0.

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.  …………9分

  （III）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052303182476566784/SYS201205230319557031490203_DA.files/image022.png">,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，將上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整數(shù)，就有.………14分