Question

已知數(shù)列﹛a_n﹜的前n項和S_n=

(n+1)an

2

，且=1，設C_n=

an

an+1

+

an+1

an

，數(shù)列﹛C_n﹜的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列﹛a_n﹜的通項公式；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，不等式2n＜T_n＜2n+1恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意利用公式法即可求得

an

an-1

=

n

n-1

，再由累乘法得出數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得C_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+1

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+1

，利用裂項法求得T_n=2n+1-

1

n+1

，即可得出證明．

解答： 解：（1）∵S_n=

(n+1)an

2

，
∴2s_n=（n+1）a_n，①
n≥2時，2s_n-1=na_n-1，②
∴由①-②得，2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

，
∴a_n=a₁•

a2

a1

…

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
∴a_n=n．
（2）由（1）得C_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+1

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2n+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=2n+1-

1

n+1

，
∵0＜1-

1

n+1

=

n

n+1

＜1，
∴2n＜T_n＜2n+1．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求數(shù)列的和等知識，考查學生的運算求解能力，屬于中檔題．