如果一個函數(shù)的定義域是值域的真子集,那么稱這個函數(shù)為“思法”函數(shù).
(1)判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是否為思法函數(shù),并簡述理由;
(2)判斷冪函數(shù)y=xα(α∈Q)是否為思法函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(3)已知ft(x)=ln(x2+2x+t)是思法函數(shù),且不等式2t+1+3t+1≤k(2t+3t)對所有的ft(x)都成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合思法函數(shù)的定義,可得結(jié)論;
(2)根據(jù)冪函數(shù)y=xα(α∈Q)的圖象和性質(zhì),分別討論α=0,α>0和α<0三種情況下,函數(shù)的定義域和值域,結(jié)合思法函數(shù)的定義,可得結(jié)論;
(3)根據(jù)ft(x)=ln(x2+2x+t)是思法函數(shù),令y=lnu,u=x2+2x+t.結(jié)合思法函數(shù)的定義及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),由不等式2t+1+3t+1≤k(2t+3t)對所有的ft(x)都成立,構(gòu)造關(guān)于k的不等式,可得實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)∵指數(shù)函數(shù)的定義域是R,值域(0,+∞).
∴指數(shù)函數(shù)不是思法函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的定義域是(0,+∞),值域R,
故對數(shù)函數(shù)是思法函數(shù).
(2)冪函數(shù)y=xα(α∈Q)不是思法函數(shù).證明如下:
1)當α=0時,顯然y=x0不是思法函數(shù);
2)當α>0時,設(shè)α=
m
n
(其中m,n是互質(zhì)的正整數(shù)).
①若n為偶數(shù),則m為奇數(shù),定義域和值域都是[0,+∞),不是思法函數(shù);
②若n為奇數(shù),當m為奇數(shù)時,定義域和值域都是R,不是思法函數(shù);
當m為偶數(shù)時,定義域R,值域是[0,+∞),不是思法函數(shù).
3)當α<0時,設(shè)α=-
m
n
(其中m,n是互質(zhì)的正整數(shù))
①若n為偶數(shù),則m為奇數(shù),定義域和值域都是(0,+∞),不是思法函數(shù);
②若n為奇數(shù),當m為奇數(shù)時,定義域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),不是思法函數(shù);
當m為偶數(shù)時,定義域(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(0,+∞),不是思法函數(shù).
綜上所述;冪函數(shù)y=xα(α∈Q)不是思法函數(shù).
(3)令y=lnu,u=x2+2x+t.則u=(x+1)2+t-1
①當△=4-4t<0,即t>1時,恒有u≥t-1>0.
故ft(x)的定義域為R,值域為[ln(t-1),+∞),ft(x)不是思法函數(shù);
②當△=4-4t≥0,即t≤1時,u=x2+2x+t能。0,+∞)中的一切值,
故ft(x)的值域為R.定義域不是R,ft(x)是思法函數(shù).
因此,ft(x)是思法函數(shù)?t∈(-∞,1].
2t+1+3t+1≤k(2t+3t)?k≥
2t+1+3t+1
2t+3t
,
g(t)=
2t+1+3t+1
2t+3t
,則k≥g(t)max
g(t)=
2(
2
3
)
t
+3
(
2
3
)
t
+1
=2+
1
(
2
3
)
t
+1
在(-∞,1]上是增函數(shù),
g(x)max=g(1)=
13
5

所以k∈[
13
5
,+∞)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的定義域,值域,熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

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已知函數(shù):f(x)=
x-a+1
a-x
(a為常數(shù)).
(1)當f(x)的定義域為[a+
1
2
,a+1]時,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)試問:是否存在常數(shù)m使得f(x)+f(m-x)+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立;若有求出m,若沒有請說明理由.
(3)如果一個函數(shù)的定義域與值域相等,那么稱這個函數(shù)為“自對應(yīng)函數(shù)”.若函數(shù)f(x)在[s,t](a<s<t)上為“自對應(yīng)函數(shù)”時,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù):(a為常數(shù)).

(1)

f(x)的定義域為[a+,a+1]時,求函數(shù)f(x)的值域

(2)

試問:是否存在常數(shù)m使得f(x)+f(m-x)+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立;若有求出m,若沒有請說明理由.

(3)

如果一個函數(shù)的定義域與值域相等,那么稱這個函數(shù)為“自對應(yīng)函數(shù)”.若函數(shù)f(x)在[s,t](a<s<t)上為“自對應(yīng)函數(shù)”時,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如果一個函數(shù)的定義域是值域的真子集,那么稱這個函數(shù)為“思法”函數(shù).
(1)判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是否為思法函數(shù),并簡述理由;
(2)判斷冪函數(shù)y=xα(α∈Q)是否為思法函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(3)已知數(shù)學公式是思法函數(shù),且不等式2t+1+3t+1≤k(2t+3t)對所有的ft(x)都成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

判斷下列論斷是否正確:

(1)如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱,則這個函數(shù)為奇函數(shù);

(2)如果一個函數(shù)為偶函數(shù),則它的定義域關(guān)于坐標原點對稱;

(3)如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則這個函數(shù)為偶函數(shù).

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