Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

．
（1）作出f（x）的圖象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0時的x取值集合；
（4）討論方程f（x）=b解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）分段函數(shù)的圖象可分段處理，即在同一坐標(biāo)系中分別化出三段的圖象，最后得到函數(shù)的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

的圖象．
（2）由（1）的圖象，分析分段函數(shù)每一段上函數(shù)值的取值范圍，其并集即為函數(shù)的值域．
（3）由（1）的圖象，易得到f（x）＜0時，即函數(shù)圖象位于X軸下方的x取值集合；
（4）由（1）的圖象，我們分段討論函數(shù)圖象與直線y=b的交點個數(shù)，即為方程f（x）=b解的個數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

的圖象如下圖所示：

（2）由（1）中函數(shù)圖象可得：
函數(shù)的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

的值域為：[-8，1]

（3）由（1）中函數(shù)圖象可得：
當(dāng)x＜0或2＜x≤3時，f（x）＜0
故f（x）＜0時的x取值集合為：（-∞，0）∪（2，3]

（4）當(dāng)b＜-8時，函數(shù)圖象與直線y=b無交點，此時方程f（x）=b無解；
當(dāng)b=-8時，函數(shù)圖象與直線y=b有一個交點，此時方程f（x）=b有一個解；
當(dāng)-8＜b＜-4時，函數(shù)圖象與直線y=b有兩個交點，此時方程f（x）=b有兩個解；
當(dāng)b=-4時，函數(shù)圖象與直線y=b無交點，此時方程f（x）=b無解；
當(dāng)-4＜b＜-3時，函數(shù)圖象與直線y=b有一個交點，此時方程f（x）=b有一個解；
當(dāng)-3≤b＜1時，函數(shù)圖象與直線y=b有兩個交點，此時方程f（x）=b有兩個解；
當(dāng)b=1時，函數(shù)圖象與直線y=b有一個交點，此時方程f（x）=b有一個解；
當(dāng)b＞1時，函數(shù)圖象與直線y=b無交點，此時方程f（x）=b無解．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．