Question

11．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值為-6，則$\frac{n}{m-1}$的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 畫出約束條件表示的可行域，判斷目標(biāo)函數(shù)的經(jīng)過的點(diǎn)，求解最大值時(shí)的關(guān)系式，然后求解所求的表達(dá)式的取值范圍．

解答 解：x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，的可行域如圖：
目標(biāo)函數(shù)z=mx-ny（m＞0，n＜0），
可知：y=$\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$，并且$\frac{m}{n}＜0$，$-\frac{1}{n}＞0$，
當(dāng)直線y=$\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$經(jīng)過點(diǎn)（-2，-3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，
可得-2m+3n=-6，所以n=$\frac{2m-6}{3}$＜0，
所以0＜m＜3，則$\frac{n}{m-1}$=$\frac{2m-6}{3（m-1）}$，
令t=m-1，可得t∈（-1，2）．則$\frac{2m-6}{3（m-1）}$=$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$
，當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$＞2，
當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$＜0，
綜上$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．
$\frac{n}{m-1}$的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．