Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若2f（x）+x?f′（x）＜0恒成立，下列說法正確的是（　　）

• A、函數(shù)x²f（x）有最小值0
• B、函數(shù)x²f（x）有最大值0
• C、函數(shù)x²f（x）在R上是增函數(shù)
• D、函數(shù)x²f（x）在R上是減函數(shù)

Answer 1

分析：由已知條件想到構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=x²f（x），求導(dǎo)后分x＜0和x＞0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號，并得到原函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求．

解答：解：設(shè)F（x）=x²f（x），
∴F′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵2f（x）+x•f′（x）＜0，
∴當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＜0，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=0時，F(xiàn)（x）有最大值，最大值為0．
綜上可知，選項B正確．
故選：B．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．