Question

已知，函數(shù).設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為，與軸的交點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出f'（x），把代入到導(dǎo)函數(shù)中求出切線l的斜率，并代入到f（x）中求出，寫出切線方程，然后令y=0求出與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x即得證；（2）根據(jù)第一問寫出M和N的坐標(biāo)，算出與的數(shù)量積，當(dāng)a等于0時(shí)不等式成立，當(dāng)a大于0時(shí)設(shè)等于數(shù)量積，求出導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)，的值，然后利用討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性得到的最小值大于列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．

試題解析：（1）【解析】
曲線在點(diǎn)處的切線的方程為

令，得 4分

（2）在上恒成立

設(shè)，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，取極大值

10當(dāng),即時(shí)，，滿足題設(shè)要求；

20當(dāng)，即，，

若，解得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 12分.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；2.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．