Question

已知a為實數，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求證：對于任意實數a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）當f（x）是奇函數時，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁＞x₂，代入函數解析式利用指數函數的單調性求得f（x₁）-f（x₂）＞0，進而可知f（x₁）＞f（x₂）推斷出函數為增函數．
（2）利用f（x）是奇函數時，可推斷出f（0）=0求得a，進而求得f^-1（x）的解析式，利用題設等式求得t的表達式，最后利用基本不等式求得t的最小值，進而求得t的范圍．

解答：解：（1）設x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

∴x₁＞x₂，
∴2x1＞2x2
∴

2

2x1+1

＜

2

2x2+1

∴f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在定義域上為增函數．
（2）因為f（x）是R上的奇函數，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，
即a=1．f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
當且僅當1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

時等號成立，
所以，t的取值范圍是[2

2

-2，+∞)．

點評：本題主要考查了函數單調性的判斷和證明．一般是先設出定義域上的x₁＞x₂，根據f（x₁）和f（x₂）的大小來判斷函數的單調性．