Question

已知與向量=（1，）平行的直線l₁過點A（0，-2），橢圓C：=1（a＞b＞0）的中心關于直線l₁的對稱點在直線x=（c²=a²-b²）上，且直線l₁過橢圓C的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-2，0）的直線l₂交橢圓C于M，N兩點，若∠MON≠，且•sin∠MON=，（O為坐標原點），求直線l₁₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得直線l₁的方程和過原點垂直于l₁的直線方程，兩個方程聯(lián)立求得交點的橫坐標，根據(jù)橢圓中心O（0，0）關于直線l₁的對稱點在直線x=上，進而求得a和c的關系，進而根據(jù)直線l₁求得橢圓的焦點，求得c，則a和b可求得，進而得到橢圓的方程．
（2）當直線l₁的斜率存在時，設直線l₁的方程代入橢圓方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出|MN|，進而利用點到直線的距離求得坐標原點O到直線l₂的距離根據(jù)（•）•sin∠MON=求得三角形MON的面積，把|MN|和d代入求得k；當直線l₂的斜率不存在時，直線l₂的方程為x=-2，綜合答案可得．
解答：解（Ⅰ）由題意得直線l₁的方程為y=x-2，①
過原點垂直于l₁的直線方程為y=-x②
解①②得：x=
因為橢圓中心O（0，0）關于直線l₁的對稱點在直線x=上，
∴=3
又∵直線l₁過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2
故橢圓C的方程為=1③
（II）當直線l₁的斜率存在時，
設直線l₁的方程為y=k（x+2），代入③并整理得：
（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|MN|=|x₁-x₂|==
坐標原點O到直線l₂的距離d=．
∵（•）•sin∠MON=，即S_△MON=
而S_△MON=||MN|d
∴|NM|d=，即=
解得k=±，此時直線l₂的方程為y=±（x+2）
當直線l₂的斜率不存在時，直線l₂的方程為x=-2
此時點M（-2，），N（-2，-），滿足S_△MON=，
綜上得，直線l₂的方程為x=-2或±y+2=0．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．在設直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．