Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=5，a₅-2a₂=3，又?jǐn)?shù)列{b_n}中，b₁=3且
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別是S_n，T_n，且．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和M_n；
（Ⅲ）若M_n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由題設(shè)得：，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由3b_n-b_n+1=0，知，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（I）可得，．，由此利用錯(cuò)位相減法能求出M_n=，由此能求出若M_n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則由題設(shè)得：
即，
解得，
∴．
∵3b_n-b_n+1=0∴，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
∴．
（II）由（I）可得，
．
∴．
∴M_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n

（1）-（2）得：=，
∴M_n=．…（3）
M_n+1-M_n=
=9（n+1）×3ⁿ＞0，
∴當(dāng)n=1時(shí)，∴M_n取最小值，M₁=9，
∴9即
當(dāng)m＞1時(shí)，恒成立；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，由=log_mm，得，
∴．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位求和與不等式等知識(shí)，考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．
（刪除第二個(gè)II）