【題目】設函數(shù)().
(1)若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)求函數(shù)的極值點;
(3)令, ,設, , 是曲線上相異三點,其中.求證: .
【答案】(1)實數(shù)的取值范圍是
(2)時, 有唯一極小值點,
時, 有一個極大值點和一個極小值點;
時, 無極值點.
(3)證明見解析
【解析】試題分析:(1)利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為: 或在上恒成立.再根據(jù)變量分離轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值: 最大值或最小值,即得.(2)實質(zhì)為討論一元二次方程解的情況:當時,方程無解,函數(shù)無極值點; 時,方程有一解,函數(shù)有一個極值點; 時,方程有兩解,函數(shù)有兩個極值點;(3)借助第三量進行論證,先證,代入化簡可得,構造函數(shù),其中(),利用導數(shù)易得在上單調(diào)遞增,即,即有,同理可證,
試題解析:解:(1),
函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù), 或在上恒成立.
若恒成立,得.
若恒成立,即恒成立.
在上沒有最小值, 不存在實數(shù)使恒成立.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
(2)由(1)知當時,函數(shù)無極值點.
當時, 有兩個不同解, , ,
時, , ,即, ,
時, 在上遞減,在上遞增, 有唯一極小值點;
當時, .
, , 在上遞增,在遞減,在遞增,
有一個極大值點和一個極小值點.
綜上所述, 時, 有唯一極小值點,
時, 有一個極大值點和一個極小值點;
時, 無極值點.
(3)先證: ,即證,
即證 ,
令(),, ,
所以在上單調(diào)遞增,即,即有,所以獲證.
同理可證: ,
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線.
(Ⅰ)若函數(shù)與的圖象有兩個交點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點, ,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電子公司開發(fā)一種智能手機的配件,每個配件的成本是15元,銷售價是20元,月平均銷售件,通過改進工藝,每個配件的成本不變,質(zhì)量和技術含金量提高,市場分析的結果表明,如果每個配件的銷售價提高的百分率為,那么月平均銷售量減少的百分率為,記改進工藝后電子公司銷售該配件的月平均利潤是(元).
(1)寫出與的函數(shù)關系式;
(2)改進工藝后,試確定該智能手機配件的售價,使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】祖暅是南北朝時代的偉大科學家,5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任何一個平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個幾何體:圖①是從圓柱中挖出一個圓錐所得的幾何體;圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個幾何體為( 。
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【題目】已知拋物線: ,定點(常數(shù))的直線與曲線相交于、兩點.
(1)若點的坐標為,求證:
(2)若,以為直徑的圓的位置是否恒過一定點?若存在,求出這個定點,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當時, .
(1)直接寫出函數(shù)的增區(qū)間(不需要證明);
(2)求出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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【題目】已知橢圓: 的左頂點為,右焦點為, 為原點, , 是軸上的兩個動點,且,直線和分別與橢圓交于, 兩點.
(Ⅰ)求的面積的最小值;
(Ⅱ)證明: , , 三點共線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一片成熟森林的總面積為 (近期內(nèi)不再種植),計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)求每年砍伐面積的百分比;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多還能砍伐多少年?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點的平面與棱, , 分別交于點, , (, , 三點均不在棱的端點處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結論.
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