Question

橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

，且橢圓過點(diǎn)（2，0）．
（1）求橢圓方程；
（2）求圓x²+（y-2）²=

1

4

上的點(diǎn)到橢圓C上點(diǎn)的距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a=2，因?yàn)殡x心率e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（2）根據(jù)題意可得：橢圓的參數(shù)方程為

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），可得橢圓上的一點(diǎn)與圓心的距離d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，結(jié)合二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求出d的范圍，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)闄E圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓過點(diǎn)（2，0），
所以a=2，
又因?yàn)殡x心率e=

c

a

=

3

2

，
所以c=

3

，
所以b=1．
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2 =1．
（2）因?yàn)闄E圓 的方程為

x2

4

+y2 =1，
所以橢圓的參數(shù)方程為

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），
設(shè)點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，所以可得P（2sinθ，cosθ），
所以點(diǎn)P到圓x²+（y-2）²=

1

4

的圓心的距離d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，
因?yàn)閏osθ∈[-1，1]，所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：d∈[1，

2 21

3

]，
所以根據(jù)圓的性質(zhì)可得：圓上的點(diǎn)到橢圓C上點(diǎn)的距離的最小值為d-r=1-

1

2

=

1

2

；圓上的點(diǎn)到橢圓C上點(diǎn)的距離的最大值為d+r=

2 21

3

+

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及圓與圓錐曲線的位置關(guān)系；解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓方程中a，b，c之間的關(guān)系，以及圓的有關(guān)性質(zhì)，此題是一道綜合性較強(qiáng)的題，屬于中檔題．