Question

已知直線

2

x+y+a=0與圓x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)，若|

OA

+

OB

|=

3

|

OA

-

OB

|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)C為AB的中點(diǎn)，由題意得 2OC=

3

AB，故∠AOC=

π

6

，∠AOB=

π

3

，△AOB為等邊三角形，圓心O到直線

2

x+y+a=0的距離等于

3

，由

|0+0+a|

2+1

=

3

，求出a值．

解答：解：設(shè)C為AB的中點(diǎn)，∵直線

2

x+y+a=0與圓x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)，若|

OA

+

OB

|=

3

|

OA

-

OB

|，
∴2OC=

3

AB，∴OC=

3

2

AB=

3

 AC，∴∠AOC=

π

6

，∠AOB=

π

3

，
∴△AOB為等邊三角形，∴AB=OA=OB=2，由弦長公式可得圓心O到直線

2

x+y+a=0的距離等于

3

，
∴

|0+0+a|

2+1

=

3

，∴a=±3，
故答案為±3．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，判斷△AOB為等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．