Question

已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

+x）的值；
（2）記f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A、B、C的對邊是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件根據(jù)

m

•

n

=1，求得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再根據(jù)cos（

2π

3

+x）=sin（-x-

π

6

）=-cos（-x-

π

3

）=-cos（x+

π

3

），利用二倍角公式求得它的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由（2a-c）cosB=bcosC，變形化簡可得cosB=

1

2

，B=

π

3

．根據(jù)f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，以及0＜A＜

2π

3

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（A）的范圍．

解答： 解：（1）∵已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），若

m

•

n

=1，
則有

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，
解得 sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（

2π

3

+x）=sin[

π

2

-（x+

2π

3

）]=sin（-x-

π

6

）=-cos[

π

2

+（-x-

π

6

）]
=-cos（-x-

π

3

 ）=-cos（x+

π

3

）=-[1-2 sin2(

x

2

+

π

6

)]=-1+2×

1

4

=-

1

2

．
（2）由（1）可得f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵（2a-c）cosB=bcosC，即2a•cosB=c•cosB+bcosC，
故由正弦定理可得 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，解得 B=

π

3

．
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，根據(jù)0＜A＜

2π

3

，可得

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，
∴1＜f（A）＜

3

2

，即f（A）的范圍是（1，

3

2

）．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．