Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+

1

4

，g(x)=

1

2

ln(2ex)，（其中e為自然底數(shù)）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=g（a_n-1）（n≥2），求證：

n

k=1

(ak-ak+1)•ak+1＜

3

8

．

Answer 1

分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=

1

2

，從而得h（

1

2

）=

1

2

，于是h（x）可表示為關(guān)于k的一次函數(shù)，根據(jù)f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，從而可求得h（x）表達(dá)式，再驗(yàn)證h（x））≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先證{a_n}遞減且

1

2

＜a_n＜1（n≥2），然后進(jìn)行放縮：（a_k-a_k+1）•a_k+1＜(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

ak2-ak+12

2

，求和利用上述結(jié)論即可證明；

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=x2+

1

4

-

1

2

ln(2ex)，
y′=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

，易知0＜x＜

1

2

時(shí)y′＜0，x＞

1

2

時(shí)y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，

1

2

）上遞減，在（

1

2

，+∞）上遞增，
所以x=

1

2

時(shí)y=f（x）-g（x）取得最小值為0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（

1

2

）=g（

1

2

）=

1

2

，所以h（

1

2

）=

1

2

，
所以可設(shè)h（x）=kx+

1

2

-

k

2

，代入f（x）≥h（x），得x2-kx+

k

2

-

1

4

≥0恒成立，
所以△=（k-1）²≤0，所以k=1，h（x）=x，
設(shè)G（x）=x-

1

2

ln（2ex），則G′（x）=1-

1

2x

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)G′（x）＜0，當(dāng)x＞

1

2

時(shí)G′（x）＞0，易知G（x）≥G（

1

2

）=0，即h（x）≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立；
綜上，存在h（x）=x符合題目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）圖象的公切線．
（Ⅲ） 先證 {a_n}遞減且

1

2

＜a_n＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，即{a_n}為遞減數(shù)列；
又a₁=1，a2=

1

2

ln2+

1

2

＞

1

2

，所以a3=g(a2)＞g(

1

2

)=

1

2

，…
因?yàn)楫?dāng)a_k＞

1

2

時(shí)總有ak+1=g(ak)＞g(

1

2

)=

1

2

，
所以

1

2

＜…＜a_n＜a_n-1＜…＜a₁=1；
所以

n

k=1

(ak-ak+1)•ak+1＜

n

k=1

(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

n

k=1

ak2-ak+12

2

=

a12-an+12

2

＜

1- 1 4

2

=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立及數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生能力要求較高．