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20.橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,下頂點(diǎn)為C,若直線AB與直線CF的交點(diǎn)為(3a,16).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P(m,0)為橢圓C的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P且斜率為45的直線l交橢圓C于S,T兩點(diǎn),證明:|PS|2+|PT|2為定值.

分析 (1)推導(dǎo)出直線AB的方程為y=ax+b,直線CF的方程為y=ax-b.把點(diǎn)(3a,16)分別代入直線的方程{16=a×3a+b16=c×3ab,b=4,且3a=5c,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)直線的方程為x=54y+m,代入x225+y216=1,得:25y2+20my+8(m2-25)=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式,結(jié)合已知條件能證明PS|2+|PT|2是定值.

解答 解:(1)由橢圓C的左頂點(diǎn)A(-a,0),上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,b),C(0,-b),
右焦點(diǎn)為F(c,0),則直線AB的方程為y=ax+b
直線CF的方程為y=ax-b.
又∵直線AB與直線CF的交點(diǎn)為(3a,16),
把點(diǎn)(3a,16)分別代入直線的方程{16=a×3a+b16=c×3ab,
解得b=4,且3a=5c,
又∵a2=b2+c2,解得a=5,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+y216=1.
(2)設(shè)直線的方程為x=54y+m,代入x225+y216=1,
并整理得:25y2+20my+8(m2-25)=0,
設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),則y1+y2=45m,y1y2=8m22525
又∵|PS|2=(x1-m)2+y12=416y12,
同理,|PT|2=416y22,
則|PS|2+|PT|2=4116y12+y22=4116[y1+y222y1y2]=4116[4m5216m22525]=41,
∴|PS|2+|PT|2是定值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法,考查兩線段和平方和為定值的證明,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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