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已知二次函數f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數,試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個不相等的實根,當a>0時判斷f(x)在(-1,1)上的單調性;
(3)當b=2a時,問是否存在x的值,使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實數a,不等式f(x)<4恒成立?并說明理由.
分析:(1)根據偶函數的定義可知f(-x)=f(x),可求出b的值,求出g(x)的定義域看是否對稱,然后根據奇偶性定義進行判定;
(2)g(x)=x有兩個不相等的實根可轉化成△>0,可判定對稱軸的范圍,從而確定函數f(x)在(-1,1)上的單調性;
(3)不等式f(x)<4恒成立可轉化成ax2+2ax-3<0對于-1≤a≤1且a≠0時恒成立,建立不等式組,解之即可求出所求.
解答:解:(1)若f(x)為偶函數,有f(-x)=f(x)⇒b=0,則g(x)=
-1
a2x
,定義域為{x|x≠0},且g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數.
(2)由g(x)=x,整理得:a2x2+bx+1=0,且△=b2-4a2>0?|
b
2a
|>1,即
b
2a
>1或
b
2a
<-1,又f(x)得對稱軸為x=-
b
2a

所以當-
b
2a
<-1時,f(x)在(-1,1)上為增函數;當-
b
2a
>1時,f(x)在(-1,1)上為減函數.
(3)由f(x)<4,即ax2+2ax+1<4,有ax2+2ax-3<0
由已知它對于-1≤a≤1且a≠0時上面不等式恒成立,則有
x2+2x-3<0
-x2-2x-3<0

解得:-3<x<1.
點評:本題主要考查了函數的奇偶性的判定,以及函數恒成立問題,同時考查了轉化的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知二次函數f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=
5
2
-x
有等根
(1)求f(x)的表達式;
(2)若f(x)在定義域(-1,t]上的值域為(-1,1],求t的取值范圍;
(3)是否存在實數m、n(m<n),使f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],若存在,求出m、n的值.

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2
3
x-1
的圖象過原點且關于y軸對稱,記函數 h(x)=
x
f(x)

(I)求b,c的值;
(Ⅱ)當a=
1
10
時,求函數y=h(x)
的單調遞減區(qū)間;
(Ⅲ)試討論函數 y=h(x)的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況.

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bx-1a2x+2b

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(2)若方程g(x)=x有兩個不相等的實根,當a>0時判斷f(x)在(-1,1)上的單調性;
(3)若方程g(x)=x的兩實根為x1,x2f(x)=0的兩根為x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范圍.

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-x2-x+2
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3
3

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