已知f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=x2+3x+2,若當x∈[1,3]時,n≤f(x)≤m恒成立,則m-n的最小值為
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分析:先在區(qū)間[-1,-3],研究二次函數(shù)f(x)=x2+3x+2,得到它的最小值為f(-
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)=-
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4
,最大值為f(-3)=2,然后根據(jù)f(x)是奇函數(shù),得到當x∈[1,3]時,-2≤f(x)≤
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4
,從而區(qū)間[-2,
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]⊆[n,m],得到m-n的最小值為
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4
解答:解:∵當x<0時,f(x)=x2+3x+2,,
∴當x∈[-1,-3]時,在[-3,-
3
2
]上,函數(shù)為減函數(shù),在[-
3
2
,-1]上為增函數(shù)
可得f(x)在[-1,-3]上的最小值為f(-
3
2
)=(-
3
2
) 2 -
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2
•3+2=-
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4

最大值為f(-3)=(-3)2-3×3+2=2
∴當x∈[-1,-3]時,-
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≤f(x)≤2

又∵y=f(x)是奇函數(shù),
∴當1≤x≤3,時-f(x)=f(-x)∈[-
1
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,2
]
-2≤f(x)≤
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4

∵當x∈[1,3]時,n≤f(x)≤m恒成立
∴區(qū)間[-2,
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]⊆[n,m]⇒m-n
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-(-2)=
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故答案為:
9
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點評:本題以基本初等函數(shù)為載體,考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和函數(shù)恒成立問題等知識點,屬于中檔題.
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)
=( 。

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